Quando nel 529 d.C. l’imperatore bizantino Giustiniano ordinò la chiusura di tutte le scuole filosofiche greche, gli studiosi si dispersero in diverse direzioni e l’impresa della conoscenza matematica prese dimora in India e nel mondo arabo.

Fibonacci

Nel 1202 Leonardo da Pisa, detto anche Fibonacci, pubblica il Liber abaci, la sua più celebre opera che inizia con questa affermazione: «Le nove cifre indiane sono: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con queste nove cifre, e col segno 0 […] si può scrivere qualunque numero, come dimostrato qui di seguito». (Livio 2007, p. 141)
Nelle pagine del suo libro traduce i numeri romani nella lingua decimale, descrivendo “le nove figure indiane” e mostrando le operazioni aritmetiche che queste rendono possibili. Spiega il segno 0 che in arabo viene chiamato zephirum – zefiro, dalle cui varianti sono poi derivati i termini “cifra” e “ zero”.

Sicuramente il problema che maggiormente ha ispirato i futuri matematici è il seguente:

Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?

La soluzione del problema dà origine alla “serie di Fibonacci”: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 … dove ciascun termine dopo i primi due è la somma dei due termini precedenti.
Non solo i conigli, ma anche la riflessione ottica dei raggi di luce trova spiegazione nella serie di Fibonacci. Proiettando, infatti, un fascio di luce verso due lastre ciascun raggio può subire una serie di deviazioni prima di riemergere il cui numero può variare: 1, 2, 3, 5, …

Procedendo la successione, il rapporto tra un termine e il suo precedente si avvicina sempre più a φ quel numero che definisce il rapporto aureo: 987/610 = 1,618033…

La successione di Fibonacci ha alcune proprietà veramente notevoli e le relazioni matematiche collegate ad essa sono letteralmente senza limiti.

Vediamo alcuni esempi:

La “quadratura” dei rettangoli

Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci si ottiene il quadrato dell’ultimo numero della serie:

1x1, 1x2, 2x3 - 1 + 2 + 6 = 9, il quadrato di 3.

1x1, 1x2, 2x3, 3x5, 5x8, 8x13, 13x21 - 1 + 2 + 6 + 15 + 40 + 104 + 273 = 441, il quadrato di 21.

Questa proprietà può essere rappresentata anche geometricamente: un numero dispari di rettangoli con i lati uguali a una serie di termini della successione di Fibonacci trovano posto in un quadrato.

Numeri primi divisibili

Il quinto numero di Fibonacci è 5. Osservando la serie vedremo che ogni quinto numero successivo – il decimo, il quindicesimo, il ventesimo, e così via - è divisibile per 5.
Ciò risulta evidente se consideriamo solo le ultime cifre dei numeri di Fibonacci:

1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0,3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0.

«Abbiamo una successione di 60 cifre che poi si ripete. Se la si suddivide in gruppi di cinque numeri consecutivi, l’ultimo numero di ciascun gruppo è o 5 o 0. […] Estendendo un poco il ragionamento, ci si può rendere conto che, poiché il settimo numero di Fibonacci è 13, anche l’ultimo numero di ogni successivo gruppo di sette consecutivi è divisibile per 13.» (Hodges 2008, pp. 146, 147)

Il numero undici

Sommando una qualunque decina di numeri di Fibonacci il risultato è sempre divisibile per 11 e corrisponde al settimo numero del gruppo:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143/11 = 13
55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 + 2584 + 4181 = 10857/11 = 987

I numeri di Fibonacci e la spirale logaritmica

La relazione risulta evidente costruendo una serie di quadrati il cui lato di ognuno equivalga alla somma dei lati dei due precedenti. Disponendoli come in figura e tracciando un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.

La fillotassi – disposizione delle foglie

Il rapporto tra la serie di Fibonacci e la fillotassi fu scoperto intuitivamente da Keplero, ma la vera storia matematica iniziò nel XIX secolo quando alcuni studiosi scoprirono la regola generale secondo cui il passaggio da una foglia all’altra intorno al fusto comporta un giro, o quoziente di fillotassi, espresso dai numeri di Fibonacci: 1/2, 1/3, 2/5, 3/8.
Il disegno illustra il caso in cui il quoziente di fillotassi è 3/8: occorrono infatti tre giri completi per passare attraverso otto foglie.
L’apice vegetativo ha una forma quasi conica che si va restringendo verso la sommità, le foglie si succedono intorno alla spirale vegetativa formando con il fusto un angolo pressoché costante e prossimo a 137,5° ovvero un “angolo aureo”.

Altre sorprese
  • La maggior parte delle margherite di campo conta 13, 21 o 34 petali;
  • l’infiorescenza del girasole presenta generalmente 34 spirali avvolte in senso orario e 55 avvolte nel senso opposto;
  • la superficie degli ananas è generalmente composta da 5, 8, 13 o 21 spirali via via più ripide.

«La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani alle immense spirali galattiche, sembra che la natura abbia scelto quest’armoniosa figura proprio come ornamento favorito» (Livio 2007, p. 177)


La “serie” in musica

La successione “aurea” di Fibonacci ha affascinato molti compositori: la troviamo nelle “fughe” di Johann Sebastian Bach, nelle sonate di Mozart, nella Quinta Sinfonia di Beethoven, nella Sonata in la D 959 di Schubert, nella Sagra della Primavera di Strawinski.

Matematica e arte contemporanea